Как умножать числа со степенями с разными знаками

Как умножать числа со степенями с разными знаками

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются. Рассмотрим, почему показатели складываются.

Во-первых, — это сокращённая запись умножения: 23 = 2 · 2 · 2 Во-вторых, числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней: 23 · 22 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 3 множ.2 множ.5 множ.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней, мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула: ax · ay = ax+y Пример 1.

Запишите в виде степени: n3n5 Решение: n3n5 = n3 + 5 = n8 Пример 2. Упростите: xy2z3x4y5z6 Решение: чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями можно сначала сгруппировать степени по основаниям: (xx4)(y2y5)(z3z6) Теперь выполним умножение степеней: (xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9 Следовательно: xy2z3x4y5z6 = x5y7z9 Пример 3.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями: n12 : n5 где n – это число не равное нулю, так как на 0 делить нельзя.

Запишем частное в виде дроби: n12 n5 Представим n12 в виде произведения n7 · n5, тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n5: n12 = n7 · n5 = n7 n5n5 Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения: n7 · n5 = n7+5 = n12 Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так: ax : ay = ax-y Пример 1.

Частное степеней замените степенью с тем же основанием: а) a5; б) m18 am10 Решение: а) a5 = a4 · a = a4 a a б) m18 = m8 · m10 = m8 m10 m10 Пример 2.

Чему равно значение выражения: а) an ; б) mx ; в) b5 · b8 a2mb3 Решение: а) an = an — 2 a2 б) mx = mx — 1 m в) b5 · b8 = b2 · b3 · b8 = b2 · b8 = b10 b3b3 2015 – 2020 © Все права защищены.

Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта naobumium.info, включая внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения администрации сайта. РАЗДЕЛЫ NAOBUMIUM

Умножение чисел с разными знаками: правило, примеры

В данной статье рассмотрим правила умножения отрицательных и положительных чисел.

Тогда правило умножения будет выглядеть следующим образом: a·(-b) =-(|a|·|b|). Если задано отрицательное число –aи положительное число b, справедливо будет равенство:(-a)·b=-(|a|·|b|). Правило перемножения чисел с различными знаками в полной мере соответствует свойствам действий с действительными числами.

Опираясь на них, возможно продемонстрировать, что для любых действительных положительных чисел a и b будет справедливой следующая цепочка равенств: a·(-b) +a·b=a·((-b)+ b)=a·0=0. Эта цепочка является доказательством того, что a·(- b)иa·b — противоположные числа, а значит a·(- b)=-(a·b). Из последнего равенства и следует справедливость указанного выше правила.

Отметим, что рассматриваемое правило перемножения чисел с различными знаками распространяется не только на действительные числа, но и рациональные и целые.

Такой вывод можно сделать, опираясь на то, что действия с рациональными и целыми числами имеют те же свойства, что мы использовали при доказательстве правила. По сути, умножение чисел с различными знаками по правилу, указанному выше, приводит к перемножению положительных чисел. Необходимо выполнить умножение отрицательного числа -5 на положительное число 8.

Решение Согласно правилу умножения чисел с различными знаками, перемножим модули заданных множителей.

|-5|= 5 и |8| = 8, тогда перемножение натуральных чисел 5 и 8 даст в результате число 40.

Присвоим данному результату знак минус, получим: -40 Кратко решение можно записать так: (-5)·8 =-(5·8) =-40. Ответ: (-5)·8 =-40. Необходимо произвести умножение чисел 0,(2) и -214.

Решение Первым шагом переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную (первый множитель), затем выполним переход от смешанного числа к неправильной дроби (второй множитель), применим далее правило умножения чисел с разными знаками и тогда получим: 0,2·-214= 29·-94= -29 ·94= -12 Ответ: 0,2·-214=-12.

Отдельно приведем пример умножения чисел с разными знаками, когда один из множителей или оба – иррациональные числа, которые записаны в виде корней, логарифмов и пр. В таких случаях ответ зачастую представляется в виде числового выражения.

Необходимо выполнить умножение sin3 на -1,3. Решение Используем правило умножения чисел с разными знаками, чтобы преобразовать равенство: sin3·(-1,3) =-(1,3·sin3).

Никак более упростить выражение мы не сможем, оно и будет являться ответом. Ответ: sin3·(-1,3)=-(1,3·sin3). Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Результат деления a-5 на a-3, равен a-2.

Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a — b)/3. 6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 — 1)/(x + a). 7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8.

Представить 320 в виде степени с основанием 32.По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит: Запомните!

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются. (a · b)n = an · bn, где «a», «b» — любые рациональные числа; «n» — любое натуральное число.

1. Пример 1. (6 · a2 · b3 · c )2 = 62 · a2 · 2 · b3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a4 · b6 · с 2
2. Пример 2. (−x2 · y)6 = ( (−1)6 · x2 · 6 · y1 · 6) = x12 · y6

Важно! Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке. (an · bn)= (a · b) n То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

1. Пример. Вычислить. 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104 = 10 000
2. Пример.

Степень — свойства, правила, действия и формулы

То есть: (a * b)n = an * bn.

При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+». Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.

Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе. Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный? Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается: A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

Пассажир

Если

, то

(правило извлечения корня из дроби). 3. Если

, то

(правило извлечения корня из корня).

4. Если

, то

(правило возведения корня в степень).

5. Если , то

, где

, т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число. 6. Если

, то

, т.

е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7.

Совет 1: Как умножать степени

(6)5 : (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36.Если в ответе получается число в отрицательной степени, то такое число преобразуется в обыкновенную дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе основание с полученным при разности показателем степени, только в положительном виде (со знаком плюс).

Пример 2. (2) 4 : (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Деление степеней может быть записано в другом виде, через знак дроби, а не как указано в этом шаге через знак «:». От этого принцип решения не меняется, все производится точно также, только запись будет вестись со знаком горизонтальной (или косой) дроби, вместо двоеточия.Пример 3. (2) 4 /(2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

2 При умножении одинаковых оснований, имеющих степени, производится сложение степеней.

Пример 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 =(5)5 = 3125.Если показатели степеней имеют разные знаки, то их сложение проводится согласно математическим законам.Пример 5.

Умножение отрицательных чисел

Используя понятие , сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел. Первый случай, который может вам встретиться — это умножение чисел с одинаковыми знаками. Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:

• перемножить модули чисел;
• перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.

• (−3) · (−6) = +18 = 18
• 2 · 3 = 6

Второй возможный случай — это умножение чисел с разными знаками. Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:

• перемножить модули чисел;
• перед полученным произведением поставить знак «−».

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.

• (−0,3) · 0,5 = −0,15
• 1,2 · (−7) = −8,4

Запомнить правило знаков для умножения очень просто.

Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок. Запомните!

Минус на минус даёт плюс, Плюс на минус даёт минус.

+ · (+) = + + · (−) = − − · (−) = + − · (+) = − В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве — отрицательным. Пример. (−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) = В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».

Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.

6 · 3 · 4 · 2 · 12 · 1 = 1728 Конечный результат умножения исходных чисел будет: (−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) = −1728 Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.

• 0 · a = 0
• a · 0 = 0
• a · 1 = a

Примеры:

• 0 · (−3) = 0
• 0,4 · 1 = 0,4

Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица «−1».

Запомните! При умножении на «−1» число меняется на противоположное. В буквенном выражении это свойство можно записать: a · (−1) = (−1) · a = −a При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется , установленный для положительных чисел и нуля.

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

Умножение и деление чисел со степенями

Подробнее читайте в . Материалы по теме: с друзьями:

(13 , рейтинг: 3,46 с 5)

Загрузка.

1. Часто, нет времени самому учить
2. Редко, когда самому выучить не реально
3. Рубрики
4. Не даю, все сам учу и сдаю
5. Иногда, когда преподаватель требует
6. Опрос пользователей Даете ли вы взятки преподавателям?
   • Часто, нет времени самому учить
   • Редко, когда самому выучить не реально
   • Иногда, когда преподаватель требует
   • Не даю, все сам учу и сдаю

   Загрузка

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Но это равно a2. В ряде чисел a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4. любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Так, y3:y2 = y3-2 = y1. То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И an+1:a = an+1-1 = an. То есть $\frac{aan}{a} = an$. Делимое y2m 8an+m 12(b + y)n Делитель ym 4am 3(b + y)3 Результат ym 2an 4(b +y)n-3 Или: y2m : ym = ym 8an+m : 4am = 2an 12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3 Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.

Результат деления a-5 на a-3, равен a-2. Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

Источник: http://konsalt74.ru/kak-umnozhat-chisla-so-stepenjami-s-raznymi-znakami-67731/

Свойства степени

Что такое степень числа Свойства степени Возведение в степень дроби

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

am · an = am + n, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Примеры.

• Упростить выражение. b · b2 · b3 · b4 · b5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b15
• Представить в виде степени. 615 · 36 = 615 · 62 = 615 · 62 = 617
• Представить в виде степени. (0,8)3 · (0,8)12 = (0,8)3 + 12 = (0,8)15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (33 + 32) на 35. Это понятно, если
посчитать (33 + 32) = (27 + 9) = 36 , а 35 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= am − n, где «a» — любое число, не равное нулю, а «m», «n» — любые натуральные числа такие, что «m > n».

Примеры.

• Записать частное в виде степени (2b)5 : (2b)3 = (2b)5 − 3 = (2b)2
• Вычислить. = 113 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
• Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней. 38 : t = 34t = 38 : 34t = 38 − 4t = 34 Ответ: t = 34 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

• Пример. Упростить выражение. 45m + 6 · 4m + 2 : 44m + 3 = 45m + 6 + m + 2 : 44m + 3 = 46m + 8 − 4m − 3 = 42m + 5
• Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени. = = = = = 211 − 5 = 2 6 = 64

Важно!

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (43 −42) на 41. Это понятно, если посчитать (43 −42) = (64 − 16) = 48, а 41 = 4

Будьте внимательны!

Запомните!

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(an)m = an · m, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

• Пример. (a4)6 = a4 · 6 = a24
• Пример. Представить 320 в виде степени с основанием 32.По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Запомните!

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn, где «a», «b» — любые рациональные числа; «n» — любое натуральное число.

• Пример 1. (6 · a2 · b3 · c )2 = 62 · a2 · 2 · b3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a4 · b6 · с 2
• Пример 2. (−x2 · y)6 = ( (−1)6 · x2 · 6 · y1 · 6) = x12 · y6

Важно!

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(an · bn)= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

• Пример. Вычислить. 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104 = 10 000
• Пример. Вычислить. 0,516 · 216 = (0,5 · 2)16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 45 · 32 = 43 · 42 · 32 = 43 · (4 · 3)2 = 64 · 122 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

421 · (−0,25)20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25))20 = 4 · (−1)20 = 4 · 1 = 4 Запомните!

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn, где «a», «b» — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

• Пример. Представить выражение в виде частного степеней. (5 : 3)12 = 512 : 312

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Fstepeni%2Fstepeni2.php

Свойства степени

Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11.

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

При умножении количество степеней может быть любое.

Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т.
е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9.
Важно Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.

Внимание Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

К началу страницы

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия с дробями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Свойства степени с натуральным показателем

1.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2.

Как умножать числа со степенями с разными знаками зодиака

Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a4}{3a2}$ Ответ: $\frac{5a2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6×6}{3×5}$.

Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a2/a3 и a-3/a-4 и приведите к общему знаменателю. a2.a-4 есть a-2 первый числитель. a3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель. a3.a-4 есть a-1, общий числитель. После упрощения: a-2/a-1 и 1/a-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 — 1)/(x + a).

7.

Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8. Разделите a4/y3 на a3/y2. Ответ: a/y.

9.

Как умножать числа со степенями с разными знаками 6 класс презентация

Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2.

Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3.

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5.

Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из 2a4 3h2b6 5(a — h)6 Вычитаем -6a4 4h2b6 2(a — h)6 Результат 8a4 -h2b6 3(a — h)6

Или: 2a4 — (-6a4) = 8a4 3h2b6 — 4h2b6 = -h2b6 5(a — h)6 — 2(a — h)6 = 3(a — h)6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

Первый множитель x-3 3a6y2 a2b3y2 Второй множитель am -2x a3b2y Результат amx-3 -6a6xy2 a2b3y2a3b2y

Или: x-3 ⋅ am = amx-3 3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2 a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.

Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним, то есть

Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:

что и требовалось доказать.

Например, (2 3 ) 2 = 2 6 = 64;

518 (Устно.) Определить х из уравнений:

1) 2 • 2 2 • 2 3 • 2 4 • 2 5 • 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 • 4 4 • 4 6 • 4 8 • 4 10 = 2 x ;

2) 3 • 3 3 • 3 5 • 3 7 • 3 9 = 3 x ; 4) 1 /5 • 1 /25 • 1 /125 • 1 /625 = 1 / 5 x .

519. (У с т н о.) Упростить:

520. (У с т н о.) Упростить:

521.

Умножение и деление степеней

Если , то (правило возведения корня в степень).

6.

Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т.

е. справа налево).

Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9.

Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.

Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

К началу страницы

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия с дробями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Правила умножения степеней с разным основанием

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Теорема 1.

Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Алгебра – 7 класс

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(a n · b n )= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

• Пример. Вычислить. 2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
• Пример.Вычислить. 0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
• В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216Пример возведения в степень десятичной дроби.4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
  

  Свойства 5 Степень частного (дроби)

  Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.(a : b) n = a n : b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

• Пример. Представить выражение в виде частного степеней. (5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12
• Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби.

Источник: https://37zpp.ru/kak-umnozhat-chisla-so-stepenyami-s-raznymi-znakami

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
Сумма a3 — bn и h5 -d4 есть a3 — bn + h5 — d4.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степениодинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a4 — (-6a4) = 8a4
3h2b6 — 4h2b6 = -h2b6
5(a — h)6 — 2(a — h)6 = 3(a — h)6

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a3b2 делённое на b2, равно a3.

Или:$\frac{9a3y4}{-3a3} = -3y4$$\frac{a2b + 3a2}{a2} = \frac{a2(b+3)}{a2} = b + 3$

$\frac{d\cdot (a — h + y)3}{(a — h + y)3} = d$

Запись a5, делённого на a3, выглядит как $\frac{a5}{a3}$. Но это равно a2. В ряде чисел
a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y3:y2 = y3-2 = y1. То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И an+1:a = an+1-1 = an. То есть $\frac{aan}{a} = an$.

Или:
y2m : ym = ym
8an+m : 4am = 2an
12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a-5 на a-3, равен a-2.
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h2:h-1 = h2+1 = h3 или $h2:\frac{1}{h} = h2.\frac{h}{1} = h3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a4}{3a2}$ Ответ: $\frac{5a2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6×6}{3×5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a2/a3 и a-3/a-4 и приведите к общему знаменателю.
a2.a-4 есть a-2 первый числитель.
a3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель.
a3.a-4 есть a-1, общий числитель.
После упрощения: a-2/a-1 и 1/a-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8. Разделите a4/y3 на a3/y2. Ответ: a/y.

9. Разделите (h3 — 1)/d4 на (dn + 1)/h.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/slogenie-vichitanie-umnozhenie-delenie-stepeney.html

Действия со степенями: правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

• 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
• 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
• 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
• 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
• 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

• an * am = (a)(n+m),
• an : am = (a)(n-m),
• (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

• 23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

• 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
• (23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

• 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
• 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
• А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

• при наличии скобок – начинать нужно с них,
• затем возведение в степень,
• потом выполнять действия умножения, деления,
• после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

• A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

• 1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

• (A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

• A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1… и т. д.
• A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 … и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kakie-vozmozhny-dejstviya-so-stepenyami.html